Andegradsligninger er ligninger af typen $$ax^{2} + bx + c = 0, a \neq 0$$ hvor a, b og c er koefficienter for hvilke gælder at de er reelle tal. Bemærk at \(a \neq 0\), hvis \(a = 0\), er ligningen ikke en andengradsligning. Som med andre ligninger er \(x\) typisk den variabel vi vil løse ligningen med hensyn til. Her er tre eksempler på andengradsligninger:
Som det ses, er vi altid interesseret i at finde ud af hvornår andengradsligninger giver \(0\). Dette er ikke et tilfælde, en andengradsligning har nemlig med rødder og dermed med grafen for et poynomie at gøre. Mere om det senere.
Helt generelt er det heldigvis sådan at der er et nyttigt værktøj til at løse de andengradsligninger der har en løsning. Dette værktøj hedder diskriminanten hvilket er et lidt spøjst navn til et matematiks værktøj, men det hedder den altså. Diskriminanten er en formel der giver andledning til
For den generelle andengradsligning givet på formen: $$ax^{2} + bx + c =0, a \neq 0$$ med diskriminanten \(d = b^{2} - 4ac\) gælder:
Vi bemærker følgende to identiteter som vi skal bruge: $$d = b^{2} - 4c\ \ [id_1]$$ og $$(p + q)^{2} = p^{2} + q^{2} + 2pq\ \ [id_2]$$
Derudover har vi jo tidligere antaget at \(a \neq 0\), og vi omskriver fra en ende af: $$ax^{2} + bx + c = 0 \iff$$ $$4a^{2}x^{2} + 4abx + 4ac = 0 \iff$$ $$4a^{2}x^{2} + 4abx + 4ac + b^{2} = b^{2} \iff$$ $$4a^{2}x^{2} + 4abx + b^{2} = b^{2} - 4ac \iff$$ $$(2ax + b)^{2} = b^{2} - 4ac\ [id_2] \iff$$ $$(2ax + b)^{2} = d\ [id_1]$$ Herefter kan vi kikke på de tre tilfælde af \(d\):
Og sætningen er bevist.
Vi kan prøve at bruge den på et par af ligningerne i starten af afsnittet:
Hvis en af koeffiecenterne \(b\), \(c\) er lig med \(0\), kan vi løse ligningen uden brug af sætning 1. I tilfældet \(c = 0\), bruges nulreglen, ligesom vi løste (3) i starten. Hvis \(b = 0\), kan vi løse ligningen ved at rykke rundt på tallene som ved en normel ligningen, her er to eksempler:
Hvor det sidste eksempel ingen reel løsning har.
I Maple løses de fire ligninger ved "solve":
solve(3*x^2-2*x-1 = 0); solve(.5*x^2-2 = 0); solve(-2*x^2+4*x = 0); solve(2*x^2+2*x+1 = 0)Hvor den sidste giver \(x = -1/2+1/2I\), \(-1/2-1/2I\) hvilket altså ikke har med reelle tal, men med komplekse tal at gøre.