Vi skal her introducere gruppeteori.
Definition:
Definition: En gruppe er et ordnet par (G, ⭑) hvor G er en mængde, og ⭑ er en kompositionsregel på G der opfylder følgende:
Vi siger at G er en gruppe under den givne kompositionsregel, og vi skriver (G, ⭑). Det neutrale element kommuterer med alle elementer i G. Det inverse elementer er kommuterer med sin inverse. Produktet af et element med sig selv i forskellige potenser kommuterer, feks a²a? = a?a². Derudover er der ingen krav til at elementer i G skal kommutere før G er en gruppe. Bemærk at kravet om et neutralt element sikrer at en gruppe ikke er tom. Hvis G er en endelig mængde, er G også en endelig gruppe.
Eksempler:
Prop. 1 - Lad G være en gruppe under ⭑, da gælder:
Beviser:
(1) : Hvis både e_1, e_2 er identiteter i G, gælder der: e_1 .comp e_2 = e_2 .and e_1 .comp e_2 = e_1 .drarrow e_1 = e_2, og identiteten er entydigt bestemt.
(2) : Hvis både b og c er inverse til a, får vi:
a .comp b = e .and a .comp c = e .drarrow
c = e .comp c CN_(def.2)
c = (a .comp b) .comp c CN_(første del af konjunktionen)
c = (b .comp a) .comp c CN_(def.iii)
c = b .comp (a .comp c) CN_(def.i assoc)
c = b .comp e CN_(anden del af konjunktionen)
c = b CN_(def.ii)
(3) : Lad a .isin G. Her sker der det at: a .isin G .drarrow a^{-1} .isin G .drarrow (a^{-1})^{-1} .isin G osv. pga. def.3. Der gælder nu:
(a^{-1})^{-1} .comp (a^{-1}) = e .drarrow
(a^{-1})^{-1} .comp (a^{-1}) .comp (a) = a .drarrow
(a^{-1})^{-1} .comp (a^{-1} .comp a) = a .drarrow
(a^{-1})^{-1} = a
(4) : Lad a, b, (a .comp b) .isin G (hvilket deres inverse også er ifg. def.3), og vi får:
(a .comp b)^{-1} .comp (a .comp b) = e .drarrow
(a .comp b)^{-1} .comp (a .comp b) .comp (b^{-1}) .comp (a^{-1}) = (b^{-1}) .comp (a^{-1}) .drarrow
(a .comp b)^{-1} .comp (a) .comp (b .comp b^{-1}) .comp (a^{-1}) = (b^{-1}) .comp (a^{-1}) .drarrow
(a .comp b)^{-1} .comp (a .comp a^{-1}) = (b^{-1}) .comp (a^{-1}) .drarrow
(a .comp b)^{-1} = (b^{-1}) .comp (a^{-1})
(5) : Udeladt da det e umiddelbart er for kluntet.
Herfra vil vi indføre 'misbrug' af notation og skrive en komposition af to elementer i en gruppe G som a ⋅ b eller bare ab istedet for a ⭑ b. Vi lader altså kompositionsreglen være implicit. Derudover skriver vi neutralelementet i G som 1 i stedet for e og ser bort fra parenteser da den associative lov gælder generelt for grupper. Netop pga. den generelle associative lov skriver vi xn istedet for xxx ⋅ ... ⋅ x(n gange).
Prop. 2 Lad G være en gruppe, og lad a, b ∈ G. Ligningerne ax = b og ay = b har entydige løsninger. Specielt holder højre- og venstre annuleringslov:
Bevis:
(1) og (2) : Gang med den inverse til a eller b på den respektive side og simplificer. Entydigheden kommer af at den inverse til hvert element er entydigt.
Definition Lad G være en gruppe. For et x ∈ G siger vi at ordnen af x er det mindste heltal, n, så x^n = 1. Vi skriver dette heltal som n = |x|. Vi siger at x har orden n. Hvis der ikke eskisterer et heltal hvilket x opløftet i giver 1, siger vi at x har uendelig orden.
Eksempler:
For en endelig gruppe kan vi opstille en såkaldt kompositionstavle. For setZ .setminus 5setZ ser den sådan her ud:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Den fungerer ligesom de der multiplikationstabeller i folkeskolen. Feks. aflæses overline 2 + overline 3 = overline 5 = overline 0 ved at vi går 2 hen og 3 ned og sætter fingeren. For store grupper med mange elementer bliver en kompositionstavle hurtigt uoverskuelig. Men den kan bruges til at skabe en generel forståelse ved mindre grupper.
Definition : Lad (G,⭑) og (H,⬩) være grupper. Da kalder vi funktionen defineret som følgende:
for en homomorfi, for hvilken gælder
Beviser:
(1) : %phi(1) = %phi(1)%phi(1)%phi(1)^{-1} = %phi(1 .comp 1)%phi(1)^{-1} = %phi(1)%phi(1)^{-1} = 1
(2) : Lad x ∈ G, og vi får:
Definition : Funktionen %phi : G .functo H er en isomorfi, og G og H er isomorfe, hvis:
Vi skriver i så fald: G .isomorph H - at G er isomorf med H.