Lad G være en gruppe, og lad x ∈ G. En måde at danne en undergruppe H af G er ved at lade H være alle positive og negative potenser af x. Dette sikrer at H er aflsuttet overfor inversdannelse og multiplikation hvad x angår.
Definition
- En delmængde S af en gruppe G siges at frembringe G hvis ethvert element i G kan skrives som et produkt af elementer og deres inverse i S. Dette noteres som G = .langle S .rangle.
- Enhver ligning i G som tilfredsstiller S kaldes en relation i S. Disse noteres som R_1, R_2, ..., R_m.
- Generelt: hvis G frembringes af S, og hvis der er en samling relationer så enhver ligning i S kan laves af disse, kalder vi disse frembringere og relationer for en repræsentation af G og skriver:
Eksempler:
Definition En gruppe, H, er cyklisk hvis G kan frembringes af et enkelt element, altså:
En cyklisk gruppe kan have mere end en frembringer, feks. den inverse til frembringeren. Derudover er en cyklisk gruppe abelsk da produktet af to forskellige potenser af samme element kommuterer.
Eksempler:
Prop. 2 Hvis H = .langle x .rangle da er |H| = |x| hvor tilfældet ∞ = ∞. Udspecificeret:
Bevis:
(1) : Første del har vi haft før, men vi tager det en ekstra gang for de nyankomne:
- Lad G være en endelig cyklisk gruppe af orden n.
- Lad 0 .le i .lt j .lt n, og lad x ∈ G være frembringer for G hvilket betyder at n er den mindste potens i hvilken x = 1.
- Lad x^i = x^j, i .ne j.
Vi får nu x^{j}x^{-i} = 1 .drarrow x^{j - i} = 1 hvilket er en modstrid da 0 < j - i < n, og da n er den mindste potens i hvilken x er 1. Beviset i tilfældet j < i forløber på samme måde.
Vi mangler så at vise at der er n elementer i H. Dette viser vi ved at benytte divisionsalgoritmen. Lad xt være en hvilken som helst potens af x, skriv t = nq + k, og vi får:
(2) : Lad |x| = ∞. Da er den eneste potens af x der giver 1, 0. Lad så x^a = x^b, 0 .le a .lt b, og vi får at x^{b}x^{-a} = 1 .drarrow x^{b - a} = 1. Men da b - a > 0, fører dette til en modstrid. Derudover, da forskellige potenser af x er forskellige elementer i H, er |H| = ∞.
Prop. 3 Lad G være en gruppe, lad x være et element i G, og lad m, n .isin setZ. Vi får nu:
Specielt gælder x^m = 1 .drarrow |x| .divides m, m .isin setZ
Bevis: ifølge Euklids algoritme eksisterer heltallene r og s så d = mr + ns hvor d er den største fælles divisor af m og n. Vi får nu:
hvilket viser første del af prop.3. For anden del lad x^m = 1, |x| = n. Hvis m = 0, gælder n | m i det hele taget. Så lad 0 < m. Ifølge ovenstående kan vi nu finde x^d = 1, d = (n,m). Men da n er den mindste potens i hvilken x er 1, må d = n.
Sætning 4 : To cykliske grupper af samme orden er isomorfe. Altså:
Beviser:
(1) : Lad ⟨ x ⟩ og ⟨ y ⟩ være cykliske grupper af orden n. Lad %phi : .langle x .rangle .functo .langle y .rangle være givet ved %phi(x^k) = y^k. Vi skal først og fremmest vise at φ er veldefineret, altså at:
Da x^{r}x^{-s} = 1, får vi ifølge prop.3 at n|(r - s) hvilket betyder at nk = r - s .drarrow nk + s = r hvilket giver:
og φ er veldefineret. Herfra følger at %phi(x^{a}x^b) = %phi(x^a)%phi(x^b), så φ er en homomorfi. Siden %phi(x^k) = y^k, x^k .isin .langle x .rangle, y^k .isin .langle y .rangle hvor begge potenser er entydige, er φ surjektiv. Siden begge grupper har samme orden, er φ surjektiv hvis og kun hvis den er bijektiv. Dermed er φ en isomorfi.
(2) : Hvis .langle x .rangle er en uendelig cyklisk gruppe, kan vi lade %phi : setZ .functo .langle x .rangle være givet ved %phi(k) = x^k. Da alle elementer i både def. mængden og billedmængen er distinkte, er φ veldefineret. Dette medfører også at φ er injektiv og dermed surjektiv (def. af cykliske grupper). Som ovenfor er φ en homomorfi og dermed en isomorfi.
Prop. 5 Lad G være en gruppe, og lad x .isin G, a .isin setZ .setminus {0}
Beviser:
(1) : Lad |x| = %infin, |x^a| = m .lt %infin, og vi får:
Siden hverken a eller m er 0, er en af enten -am og am positive, og dermed er en eller anden potens af x 1. Men dette modsiger antagelsen |x| = ∞, og vi har opnået en modstrid.
(2) : Lad y = x^a, (n,a) = d som giver n = db, a = dc. Da d er den største fælles divisor i n og a, gælder (b,c) = 1 - de er indbyrdes primiske hvilket indses på følgende måde:
Lemma 1
Lemma til lemma2. Lad a, b .isin setZ .setminus {0}, d = (a,b). Da gælder at:
Da q blot er et heltal, er d > 0.
Lemma 2
Lad n = db og a = dc. Lad d = (a,n) være den største fælles divisor i a og n, og lad e = (b,c) > 1. Da kan b skrives som ex, og c kan skrive som ey for to heltal x og y større end 0. Men ifølge Prop.1.4 for talteori gælder, at hvis d er den største fælles divisor i a og n, gælder for alle andre fælles divisorer i a og n at de er divisorer i d. Dermed får vi e|d. Skriv nu d = ef, for et eller andet heltal f større end 0, og vi får at n = dex = efex og a = dey = efey. Da e > 1, får vi at efe > ef = d hvilket er i modstrid med at d er den største fælles divisor i a og n.
Vi skal nu vise at |x^a|(n,a) = n, altså at y = b, før (2) gælder. Bemærk først at:
Derfor må der gælde at |y| er divisor i b. Lad k = |y|, og vi får:
og dermed at n|ak altså db|dck. Derfor b|ck. Siden b og c er indbyrdes primiske, må g være divisor i k. Siden b og k er positive og b|k og k|b, må der gælde at b = k. Bevis færdigt.
Prop. 6 Lad H = .langle x .rangle
Beviser:
(1) : Rimeligt konkret: Lad |H| = |x| = ∞. Der gælder ifølge prop.2.2 at x .ne x^p1 .ne x^p2 hvor p1 og p2 er to forskellige primtal større end 1. Den eneste potens af x der kan frembringe begge de to primtalspotenser, er 1 eller -1.
(2) : Ifølge prop.2.1 frembringer x^a en undergruppe af H med orden |x^a|. Denne undergruppe er lig med H hvis og kun hvis |x| = |x^a|. Ifølge prop.5.2 får vi:
Siden nu φ(n) er alle de a ≤ n for hvilke gælder (a,n) = 1, er φ(n) altså antallet af frembringere for H.
Eksempel
Sætning 7 Lad H = .langle x .rangle være en cyklisk gruppe.
Beviser
(1) : Lad K ≤ H. Hvis K = {1}, er (1) sand for denne undergruppe. Så lad K ≠ {1}. Dermed eksisterer et a ≠ 0 så x^a .isin K. Hvis a er negativ, gælder x^{-a} .isin K da K er en undergruppe. Der er altså altid et x med en positiv potens a i K. Lad nu
Altså de b for hvilke konjunktionen gælder. Ifølge ovenstående er P en ikke-tom mængde af positive heltal. Ifølge talteori prop.1.1 har P et minimumelement, d. Siden K er en undergruppe af H, er ethvert element i K på formen x^a for et heltal a. Vi får nu med divisionsalgoritmen:
Nu er x^r = x^{a - qd} = x^a(x^d)^{-q} et element i K da både x^a, x^d er elementer i K. Da d er minimum, er r = 0, altså er a = qd, og derfor x^a = (x^d)^q .isin .langle x^d .rangle. Dette giver K .le .langle x^d .rangle hvilket beviser (1).
(2) : Lad |H| = ∞, og lad a, b > 0. Da gælder at a .ne b .drarrow x^a .ne x^b ifølge prop.2.2, og dermed at en af følgende to er falske: x^a|x^b eller x^b|x^a (≠ betyder enten > eller < når det nu er tal vi arbejder med). I den divisorrelation der er falsk, kan højre side ikke frembringes af venstre. Derfor gælder at .langle x^a .rangle .ne .langle x^b .rangle.
Lad nu .langle x^m .rangle være en cyklisk gruppe og m et heltal. Da gælder .langle x^m .rangle = .langle x^{-m} .rangle. Vælg nu den positive af m, og vi får at .langle x^m .rangle = .langle x^{|m|} .rangle
(3) : Lad |H| = n < ∞ og a|n. Lad d = n/a hvor prop.5.3 giver at .langle x^d .rangle er en undergruppe af orden |x^d| = (n .slash d) = n .slash (n .slash a) = a hvilket viser eksistensen af denne undergruppe.
Lad nu K være en undergruppe af orden a. Af første del har vi at K = .langle x^b .rangle hvor b er det mindste heltal så x^b .isin K. Af prop.5 får vi:
så d = (n,b). Specielt er d divisor i b. Siden b kan skrives som et produkt af d, gælder x^b .isin .langle x^d .rangle, og derfor gælder:
Siden |.langle x^d .rangle| = a = |K|, får vi at K = .langle x^d .rangle.