Differentialregler

[16.09.2020] [Nørderier/Teori]

Differentialregler
Differentialkvotient

Regneregler for afledte funktioner

Lad c være en konstant. Ved vi at to funktioner, f og g, er differentiable i et givent punkt, a, kan vi udlede følgende regler:

$(cf)'(a) = c \cdot f'(a)$
$(f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)$
$(f - g)(a)' = f'(a) - g'(a)$
$(f \cdot g)'(a) = f'(a) \cdot g(a) + g'(a) \cdot f(a)$
$\left ( \frac{f}{g} \right )'(a) = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2}$

Beviser

Jeg springer nogle trin over ind i mellem. Jeg har lidt travlt.

Bevis for (i):

Trin1 : $$c \cdot f(x) - c \cdot f(a) = c(f(x) - f(a))$$ Trin3 : $$lim_{x \rightarrow a} c \cdot \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = c \cdot f'(a)$$

Bevis for (ii):

Trin1 : $$ f(x) + g(x) - (f(a) + g(a)) = (f(x) - f(a)) + (g(x) - g(a)) $$ Trin3 : $$lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} + \frac{g(x) - g(a)}{x - a} = f'(a) + g'(a)$$

Bevis for (iii):

Trin1: $$(f(x) - g(x)) - (f(a) - g(a)) =$$ $$f(x) - f(a) - g(x) + g(a) =$$ $$f(x) - f(a) - (g(x) - g(a))$$ Trin3: $$lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} - \frac{g(x) - g(a)}{x - a} = f'(a) - g'(a)$$

Bevis for (iv):

Trin1: $$f(x)g(x) - f(a)g(a) =$$ $$f(x)g(x) - f(a)g(a) + f(x)g(a) - f(x)g(a) =$$ $$g(a)(f(x) - f(a)) + f(x)(g(x) - g(a)) =$$ Trin3: $$lim_{x \rightarrow a} g(a) \frac{f(x) - f(a)}{x - a} + f(x) \frac{g(x) - g(a)}{x - a} = g(a)f'(a) + g'(a)f(a) $$

Bevis for (v):

Trin1: $$\frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f(a)}{g(a)} =$$ $$\frac{f(x)g(a) - f(a)g(x)}{g(x)g(a)} =$$ $$\frac{f(x)g(a) - f(a)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x)}{g(x)g(a)} =$$ $$\frac{g(x)(f(x) - f(a)) - f(x)(g(x) - g(a))}{g(x)g(a)}$$ Trin3: $$lim_{x \rightarrow a} \frac{g(x)(f(x) - f(a)) - f(x)(g(x) - g(a))}{g(x)g(a)} = \frac{g(a)f'(a) - g'(a)f(a)}{g(a)^2} $$

Kædereglen

Efter samme antagelser som ovenfor får vi: $$(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)$$

Bevis for kæderegel:

*Dette bevis er mit bedste bud for nu. Vi hopper direkte til trin2: $$\frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a} =$$ $$\frac{(f(g(x)) - f(g(a))) \cdot (g(x) - g(a))}{(x - a)(g(x) - g(a))} =$$ $$\frac{f(g(x)) - f(g(a))}over{g(x) - g(a)} \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}$$ Trin3: $$lim_{x \rightarrow a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{g(x) - g(a)} \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a} = f'(g(a)) \cdot g'(a)$$

Problemet her er hvordan man tolker de forskellige afledte. Ikke så meget selve håndværket.

NB. Ovenstående bevis fungerer, men ikke i alle situationer. Der er nemlig ingen garanti for at der for en differentiabel funktion, g, gælder at g(a) ≠ g(b) selv når a ≠ b. Jeg har tilgengæld fundet et federe bevis som er nedenfor.

Alternativt bevis for kædereglen.

Fiks sætning: For en differentiabel funktion, $f$, gælder: $$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \eta(h)h$$ Hvor $lim_{h \rightarrow 0} \eta(h) = 0, \eta(0) = 0$

bevis

Definer $$\eta(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - f'(a)$$ For $h \ne 0$. Sæt $\eta(0) = 0$. Af def. for diff. følger at $$lim_{h \rightarrow 0} \eta(h) = 0$$ Nu får vi: $$\eta(h)h = f(a + h) - f(a) - f'(a)h \iff$$ $$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \eta(h)h$$ Med denne sætning får vi (trin 1):
Lad $k = g(x) - g(a)$, og vi får $$g(x) = k + g(a)$$ Derudover: $$f(g(x)) =$$ $$f(g(a) + k) =$$ $$f(g(a)) + f'(g(a))k + \eta(k)k =$$ $$f(g(a)) + (f'(g(a) + \eta(k)))k =$$ $$f(g(a)) + (f'(g(a)) + \eta(k))(g(x) - g(a))$$

Vi indsætter (trin 2): $$\frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a} =$$ $$\frac{(f'(g(a)) + \eta(k))(g(x) - g(a))}{x - a} =$$ $$(f'(g(a)) + \eta(k)) \cdot \frac{(g(x) - g(a))}{x - a}$$

Og (trin3): $$lim_{x .\rightarrow a} (f'(g(a)) + \eta(k)) \cdot \frac{(g(x) - g(a))}{x - a} = f'(g(a)) \cdot g'(a)$$ Bevis slut.

Index

Del