Eksponential

[13.10.2020] [Nørderier/Teori]

Eksponeltialfunktionen er typisk brugt til at tilskrive renter til et beløb. Dette vil jeg dog ikke gå så meget i dybden med. Generelt er en eksponentialfunktion givet på formen: $$f(x) = a^{x}, a \gt 0, x \in \mathbb{R}$$

At a > 0 skal være opfyldt, giver mening hvis vi prøver at plotte en graf for en eksponentialfunktion med a < 0 - feks. $f(x) = (-2)^{x}$. Dette burde ikke kunne lade sig gøre da hver værdi f(x) for et lige x vil være posititiv, og hver værdi f(x) for et ulige x vil være negativ. Vi ville altså få en form for et zigzagmønster.
Vi kan yderligere tilføje en b-koefficienten som en konstant. Herefter kan vi tale om en eksponential udvikling givet ved: $$f(x) = b \cdot a^{x}$$ hvor b er det såkaldte startbeløb, når vi altså regner med penge. a kaldes for fremskrivningsfaktoren eller grundtallet. x kan så betegne antallet af fremskrivninger. Et eksempel hvor vi kan bruge en eksponentialfunktion til noget pengemæssigt, er følgende: Vi sætter 100 kroner ind i banken. Hvert år tilskriver banken os 5% i rente af de 100 kroner. Dette kan altså skrives som:$$f(x) = 100 \cdot (1 + 0.05)^{x} = 100 \cdot 1.05^{x}$$ Efter 2 år har vi $f(2) = 110.25kr$. Efter 8 år har vi $f(8) = 147.75kr$ osv. Dette giver følgende graf:

Læg mærke til at det i dette tilfælde ikke rigtigt giver mening at regne tilbage i tiden.

Om eksponenter gælder generelt for et tal a at $$a^{0} = 1, a^{1} = a$$ Alle grafer med b = 1 går altså gennem punktet (0,1). Derudover gælder der for et $a \gt 0$ i intervallet $0 \lt a \lt 1$ at $a^x$ er aftagende. Og for $a \leq 1$ at $a^{x}$ er voksende eller konstant. For $b \lt 0$ gælder det samme bare omvendt da grafen kommer til at vende ned ad. Her er et par eksempler på grafer for ekponentialfunktioner/eksponentiale udviklinger:

Læg mærke til at den aftagende lillae graf ikke når $f(x) \le 0$. Samtidig har den aftagende lyseblå graf ikke en værdi $f(x) \ge 0$.

For eksponentialfunktioner er der et specieltilfælde nemlig den naturlige eksponetialfunktion $f(x) = e^x = exp(x)$. Denne har helt specielt en tangent med hældning 1 i punktet $(0,1)$. Dette er igen relateret til differentialregning og overlades til senere.
Grafen for den naturlige eksponentialfunktion er:

Der knytter sig nogle regneregler til eksponentialfunktioner. De har nemlig en omvendt funktion kaldet logaritmefunktionen. Derudover er der de basale regneregler for potenser.

Regneregler/Identiteter for logaritmer

$$ln(e^{x}) = x$$ $$e^{ln x} = x$$ $$log(a^{x}) = x$$ $$a^{log x} = x$$ $$ln(a) - ln(b) = ln(a/b)$$ $$ln(a) + ln(b) = ln(a \cdot b)\ hvor\ a, b \gt 0$$ $$ln(a^{x}) = x \cdot ln(a)$$

Regneregler/Identiteter for eksponentialfunktioner

$$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$$ $$\frac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$$ $$(a^{x})^{y} = a^{xy}$$ $$a^{x} \cdot b^{x} = (a \cdot b)^{x}$$ $$(a/b)^{x} = \frac{a^x}{b^x}$$

De øverste identiteter knytter sig til logaritmer hvor $log$ betegner 10-talslogaritme og $ln$ betegner den naturlige logaritme. De nederste er bare potensregneregler.

Index

Del