MenuForside/BlogadenTeksterUfnetMusikNoerderierSozialOm

Ligninger : To ligninger med to ubekendte - Nørderier/Teori

To ligninger med to ubekendte danner et ligningssystem vi kan løse på forskellige måder.

Lige store koefficienters metode

Denne metode handler om at vi givet to ligninger med to ubekendte kan trække dem fra hinanden. Men før vi gør det, kan vi forlænge dem så koefficienterne bliver lige store.

Eksempel 1

Vi er givet $$3x + 4y = 50$$ $$2x + y = 10$$ Som vi forlænger $$3x + 4y = 50 \Rightarrow 6x + 8y = 100$$ og $$2x + y = 10 \Rightarrow 6x + 3y = 30$$ Vi trækker fra hinanden og isolerer y: $$6x + 8y - (6x + 3y) = 100 - 30 \Rightarrow 5y = 70 \Rightarrow y = 14$$

Nu kan vi indsætte y i (2) og på den måde isolere x: $$2x + y = 10 \Rightarrow 2x + 14 = 10 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$$ Til sidst kan vi indsætte x i (1) og isolere y: $$3x + 4y = 50 \Rightarrow 3 \cdot (-2) + 4 y = 50 \Rightarrow 4y = 56 \Rightarrow y = 14$$ Som det ses, er fremgangsmåden at isolere den ene variabel i den ene ligning for så at indsætte den i den anden ligning og finde den anden variabel. For at gøre det skal der være to ligninger hvor deres forhold til de indbyrdes variable så bliver en slags betingelse. Ideen i at gøre koefficienterne lige store er at vi så får udryddet den ene af dem når vi trækker de to ligninger fra hinanden. På den måde er der kun en ubekendt at isolere.

Eksempel 2

Vi får givet de to ligninger $$6x + 5y = 100 \Rightarrow 12x + 10y = 200$$ og $$10x + 10y = 300$$ Vi trækker dem fra hinanden: $$10x + 10y - (12x + 10y) = 300 - 200 \Rightarrow -2x = 100 \Rightarrow x = -50$$ Herefter indsætter vi i (2) det x vi har fundet: $$10(-50) + 10y = 300 \Rightarrow -500 + 10y = 300 \Rightarrow 10y = 800 \Rightarrow y = 80$$ I dette tilfælde er det altså mere oplagt at benytte metoden på koefficienten foran y. Faktisk kan ideen generaliseres til at gælde for variable også i stedet for kun at gælde for koefficienter.

Eksempel 3

Vi får givet lingingssystemet $$2yx^{2} = 100$$ og $$2y^{2}x = 200$$ Det første vi gør, er at bemærke at hverken x eller y kan være lig med 0 da 0 hverken er lig med 100 eller 200. Vi kan altså forlænge (1) med y og (2) med x, og vi får:

$$2y^{2}x^{2} = 100y$$ og $$2y^{2}x^{2} = 200x$$ Vi kan nu trække de to ligninger fra hinanden: $$2y^{2}x^{2} - 2y^{2}x^{2} = 200x - 100y \Rightarrow 0 = 200x - 100y \Rightarrow 100y = 200x \Rightarrow y = 2x$$ Dette kan vi indsætte i (2): $$2xy^{2} = 200 \Rightarrow y^{3} = 200 \Rightarrow y = 200^{1/3} = 5,848$$ da \(^{3} \sqrt{a} = a^{1/3} \). Vi indsætter så det funde y i (2), og vi får: $$2y^{2}x = 200 \Rightarrow$$ $$2 \cdot (200^{1/3})^{2} \cdot x = 200 \Rightarrow$$ $$2x = 200 / 200^{2/3} \Rightarrow$$ $$2x = 200^{3/3 - 2/3} \Rightarrow$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot 200^{1/3} = 2,924$$ Og vi får at x = 2,924 og y = 5,848

Der er andre måder at løse to ligninger med to ubekendte. Faktisk er der en del. Det handler bare om at være lidt kreativ. Fremgangsmåden er at isolere den ene ubekendte i den ene ligning, indsætte den i den anden ligning og så regne sig frem til et resultat.

Maple kan også løse to ligninger med to ubendte. Hvis vi feks. er givet ligningerne: $$4x + 6y - 30 = 20$$ og $$4y + 6 = 2$$ kan vi løse dem med følgende kommando i Maple:

solve(4x+6y-30=20 and 4y+6=2);

og vi får at x = 14, og y = -1.

Så nemt er det.