En måde at undersøge om en funktion er kontinuitert på, er at analysere funktionen. Det hænger nemlig sådan sammen at de elementære funktioner er kontinuerte i deres defintionsmængde. Og der gælder for to eller flere funktioner der er kontinuerte i punktet a, at produktet, summen og differenses mellem funktionerne også er kontinuert i punktet a. Dette gælder også ved division så længe den funktion der divideres med, ikke har funktionsværdien 0 i punktet a.
Lad altså f og g være to funktioner der er kontinuerte i punktet a, da gælder at:
alle er kontinuerte. Og sådan kan vi faktisk undersøge mere komplekse funktioner, feks. er
kontinuert i alle punkter undtagen x = 0. Funktionen f(x) består nemlig funktionerne cos(x), x^{2}, 20x, √x, 2x, sin(x) og en division i mellem dem.
Udover de gængse operationer mellem to funktioner gælder der også, at hvis g er kontinuert i punktet a, og f er kontinuert i punktet g(a), så er den sammensatte funktion h(x) = f(g(x)) kontinuert i punktet a. Eksempel:
kontinuert i hele det reelle talområde da f(x) = sin(x) er kontinuert i hele det reelle talområde, og da g(x) = x^{2} + 2x er kontinuert i hele det reelle talområde og derudover tilordner elementer i det reelle talområde. En sådan sammensat afbildning kan betegnes
hvor
og
og
...