Vektorer

[13.11.2020] [Nørderier/Teori]

• Punkter
• Vektorer

Indtil videre har vi regnet med punkter. En vektor er dog noget lidt andet da en vektor ikke er placeret et bestemt sted i et koordinatsysmtem. En vektor er egentligt en afstand og en retning hvilket leder til:

Defintion v1

Alle linjestykker i planen med samme retning og længde kaldes for én vektor. Hver af disse linjestykker kaldes også for en pil der repræsenterer en retning, og hvis længde repræsenterer en afstand.

Ud fra definitionen skriver vi: $$\overline{a} = (a_{1}, a_{2})$$ eller: $$\overline{a} = {{a_1}\choose{a_2}}$$ om vektoren \(\overline{a}\) med det tilhørende koordinatsæt $$(a_{1}, a_{2})$$

En vektor sættes altså ikke som et punkt et bestemt sted i koordinatsystemet. Da to vektorer med samme længde og afstand er ens, er

de to vektorer på billedet én og samme.

• Længden af en vektor er givet ved samme formel som den for afstanden mellem to punkter, nemlig: $$|\overline{a}| = \sqrt{a_{1}^{2}+ a_{2}^{2}}$$
• Enhedsvektor er en vektor med længden 1, altså $$|\overline{e}| = 1$$
• Parallelitet, to vektorer der er paralelle, betegnes $$\overline{a} || \overline{b}$$ Parallelle vektorer har enten samme retning eller er modsat rettede.
• Ensrettede vektorer er to vektorer der er parallelle og har samme retning.
• Modsatrettede vektorer er to parallelle vektorer der er modsat rettede. Den modsatrettede til en vektor er dennes addidativt inverse. Til feks. vektoren a er den $$\overline{a} = (a_{1}, a_{2}), - \overline{a} = (-a_{1}, -a_{2})$$
• Ortogonalitet er at to vektorer står vinkelrette på hinanden.
• Nulvektoren er vektoren med længden 0, denne betegnes $$\overline{0} = (0,0)$$
• Nulvektoren er det addidative neutrale element.
• Egentlige vektorer er vektorer der ikke er nulvektoren.
• Uegentlige vektorer er nulvektoren.

Addition af to vektorer

Lad to egentlige vektorer være givet ved: $$\overline{a} = {{a}\choose{a}}$$ og $$\overline{b} = {{b_1}\choose{b_2}}$$ Da kan vi addere dem ved at lægge koordinaterne sammen, og vi får en ny vektor: $$\overline{a} + \overline{b} = {{a_1 + b_1}\choose{a_2 + b_2}}$$ Dette kan også skrives som: $$\overline{a} + \overline{b} = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2})$$

Addition mellem to vektorer giver altså en ny vektor der, hvis vi sætter de to vektorer i forhold til hinanden, har begyndelsespunkt i a's begyndelsespunkt og endepunkt i b's endepunkt:

Hvor den røde pil er vektorsummen. På denne måde kan vi faktisk skrive en vektor som en n lang sum af vektorer:

Vi har altså at den røde vektor b er lig med: $$\overline{b} = \overline{a1} + ... + \overline{an} = (a1_{1} + ... + an_{1}, a1_{2} + ... + an_{2})$$ Dette fænomen kaldes for indskudsreglen, og vi kan med den blive ved med at indskyde endnu en vektor i en sum og stadig opnå det oprindelige resultat i form af en vektor.

Indskudsreglen kan også bruges på tal, den er tit anvendt i beviser. Et eksempel er følgende omskrivning: $$2 + 3 = 5 \iff 2 + (3 - 3) + 3 = 5 \iff 5 - 3 = 5 - 3$$ osv.

Hvis en vektor \(\overline{a}\) adderes med nulvektoren, bliver resultatet vektoren \(\overline{a}\): $$\overline{0} + \overline{a} = (0 + a_{1}, 0 + a_{2}) = (a_{1}, a_{2})$$ og som bekendt betegnes nulvektoren det addidativt neutrale element.

Addition på vektorer er både associativ og kommutativ. Der gælder altså: $$\overline{a} + \overline{b} = \overline{b} + \overline{a}\ [kommutativ]$$ og $$(\overline{a} + \overline{b}) + \overline{c} = \overline{a} + (\overline{b} + \overline{c})\ [associativ]$$

Substraktion af to vektorer

Lad to egentlige vektorer være givet ved: $$\overline{a} = (a_{1}, b_{1})$$ og $$\overline{b} = (b_{1}, b_{2})$$ Da definerer vi subtraktion mellem to vektorer som $$\overline{a} - \overline{b} = {{a_1 - b_1}\choose{a_2 - b_2}}$$ \(a - b\) er altså en ny vektor der lagt til vektoren \(b\) giver $$\overline{b} + (\overline{a} - \overline{b}) = \overline{a} \iff \overline{a} + (- \overline{b}) = \overline{a} - \overline{b}$$

Substraktion mellem to vektorer er altså addition af den ene vektor med den andens modsatrettede vektor. Dette kan vi tegne som:

Den nye vektor, \(a + (-b)\), har begyndelsespunkt i \(a\)'s begyndelsespunkt og slutpunkt i \(-b\)'s slutpunkt og følger på den måde den grafiske fremstilling af addition. \(-b\) er \(b\)'s addidativt inverse element.

Hvis vi regner med substraktion på denne måde, er substraktion på vektorer både associativ og kommutativ, givet at det gælder for addition. Hvis vi derimod trækker vektorer fra hinanden ved at følge definitionen, er subsraktion på vektorer hverken associativ eller kommutativ.

Multiplikation med et tal

Lad \(\overline{a}\) være en vektor og \(t\) et tal. Da definerer vi multiplikation mellem de to som $$t \cdot \overline{a} = {{t \cdot a_1}\choose{t \cdot a_2}}$$ En vektor multiplikeret med et tal giver altså en vektor med samme retning, men med en ny længde. Der gælder for:

1. \(2 \cdot \overline{a}\)
2. \(1 / 2 \cdot \overline{a}\)
3. \(-2 \cdot \overline{a}\)
4. \(-1/2 \cdot \overline{a}\)

at (1) er ensrettet med og dobbelt så lang som a. At (2) er ensrettet med og halvt så lang som a. At (3) er modsatrettet og dobbelt så lang som a. At (4) er modsatrettet af og halvt så lang som a. For t = 1 gælder at t ⋅ a er ensrettet og af samme længde som a. 1 er altså det multiplikative neutrale element i denne sammenhæng.
Der gælder i øvrigt følgende regneregler for multiplikation af et tal med en vektor:

1. Den distributive lov: \((s + t) \overline{a} = s \overline{a} + t \overline{a}\)
2. Den distributive lov: \(t(\overline{a} + \overline{b}) = t \overline{a} + t \overline{b}\)
3. Den associative lov: \(s(t \overline{a}) = t(s \overline{a}) = (st) \overline{a}\)
4. Den kommutative lov: \(t \cdot \overline{a} = \overline{a} \cdot t\)

Hvis vi derudover kun bekymrer os om retningen af vektoren, er $$\overline{a} = (10,10)$$ og $$\overline{b} = (2,2)$$ jo parallelle og ensrettede og dermed én og samme vektor.

Vi kan nu angive en multiplikativ invers til en vektor \(a\) ved at lave en enhedsvektor der er ensrettet med a. Dette gør vi ved at at gange a med dens længdes recipbrokke element: $$\overline{e} = \frac{1}{| \overline{a} |} \overline{a} \iff \overline{e} = \frac{\overline{a} }{ | \overline{a} | }$$ Denne kan tegnes således:

Der i dette konkrete eksempel er givet ved $$\overline{a} = (1,2)$$ og $$\overline{e} = (1 / \sqrt 5, 2 / \sqrt 5)$$

Skalarprodukt

Lad to vektorer, \(a\) og \(b\), være givet. Da definerer vi et skalarprodukt mellem de to vektorer som $$\overline{a} \circ \overline{b} = {{a_1}\choose{a_2}} \circ {{b_1}\choose{b_2}} = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}$$ Skalarproduktet er altså ikke et nyt koordinatsæt, men i stedet ét tal. Har vi feks. de to vektorer $$\overline{a} = {{2}\choose{3}}$$ og $$\overline{b} = {{3}\choose{1}}$$ er deres skalarprodukt: $$\overline{a} \circ \overline{b} = {{2}\choose{3}} \circ {{3}\choose{1}} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 6 + 3 = 9$$

For vektorer, \(a\), \(b\) og \(c\), og et reelt tal \(t\) gælder følgende regneregler for skalarproduktet

• Den kommutative lov: \(\overline{a} \circ \overline{b} = \overline{b} \circ \overline{a}\)
• Den distributive lov: \(\overline{a} \circ (\overline{b} + \overline{c}) = \overline{a} \circ \overline{b} + \overline{a} \circ \overline{c}\)
• Den associative lov: \((t \overline{a}) \circ \overline{b} = \overline{a} (t \overline{b}) = t(\overline{a} \circ \overline{b})\)
• Vektorlængde: \(\overline{a}^{2} = \overline{a} \circ \overline{a} = |\overline{a}|^{2}\)

Index Del