Geometrisk serie

[30.09.2020] [Nørderier/Teori]

• Aritmetiske serier
• Geometrisk serie

Geometrisk sumfølge er givet som: $$\sum_{k=0}^{n}{x^k} = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}$$ Hvor \(x \neq 1\).

Bevis

Induktionsstart

• \(n_0 = 0\) : \(x^0 = 1 = \frac{x^1 - 1}{x - 1}\)
• \(n_0 = 1\) : \(x^0 + x^1 = x + 1 = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}\)

Induktionsskridt

Lad $$\sum_{k=0}^{n}{x^k} = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}$$ Vi får $$\sum_{k=0}^{n}{x^k} + x^{n + 1} =$$ $$\frac{x^{n+1} - 1}{x - 1} + x^{n + 1} =$$ $$\frac{x^{n+1} - 1 + (x - 1) x^{n+1}}{x - 1} =$$ $$\frac{x^{n+1} - 1 + x^{n+2} - x^{n+1}}{x - 1} =$$ $$\frac{x^{n+2} - 1}{x - 1}$$

Og vi har vist hvad vi skulle.

Index Del