Definition : Lad G være en gruppe. Delmængden H af G er en undergruppe af G hvis H ≠ Ø, og hvis H er aflsuttet overfor multiplikation og inversdannelse. Vi skriver i så fald H ≤ G. Formelt:
Undergrupper af G er delmængder af G der selv er grupper med hensyn til den komposition der er givet i G. Dvs. at hvis H ≤ G, er neutralelement i H det samme som det i G, og en invers til et element i H er den samme som inversen til samme element i G.
Eksempler
Prop. 1 En delmængde H af en gruppe G er en undergruppe hvis og kun hvis:
Bevis : Antag at H ≤ G. Da er H ≠ Ø, og hvis x, y ∈ H gælder der at den inverse til y er i H (3) samt at produktet af x med den inverse til y er i H (2).
Antag nu den anden vej at prop. 1 gælder for H. Da H ≠ Ø (1), findes et x i H. Lad x = y, og af (2) får vi 1 ∈ H. Da x og 1 er i H, er produktet af den inverse til x og 1 i H, og H er aflsuttet overfor inversdannelse. Til sidst, hvis x og y er to elementer i H, er y^{-1} .isin H .drarrow x(y^{-1})^{-1} .isin H, og H er aflsuttet overfor multiplikation.
Defintion : Centalisatoren af A i G er givet ved C_G(A) = {g .isin G | gag^{-1} = a, .forall a .isin A}. Da gag^{-1} = a .dlrarrow ga = ag, er centralisatoren de elementer i G der kommuterer med alle elementer i A.
Vi vil her vise at C_G(A) .le G. Først og fremmest gælder C_G(A) .ne .empty da 1 .isin C_G(A): Husk at 1 kommuterer for alle a i G. Antag nu at x, y .isin C_G(A), og vi får:
Hvilket betyder at C_G(A) er aflsuttet overfor inversdannelse. Derudover får vi:
og C_G(A) er aflsuttet overfor multiplikation og er dermed en undergruppe af G.
Definition : Centeret af G er de elementer i G der kommuterer med hele G, altså Z(G) = {g .isin G | gx = xg, .forall x .isin G}
Bemærk at Z(G) = C_G(G), så Z(G) .le G, bevis:
Først og fremmest er 1 i centeret, så C(G) ≠ Ø. Lad nu x, y .isin Z(G), og vi får:
Centeret er aflsuttet overfor inversdannelse. Derudover:
og centeret er aflsuttet overfor multiplikation.
Definition : Definer gAg^{-1} = {gag^{-1} | a .isin A}. Man kan sige at a gennemløber A. Normalisatoren af A i G er: N_G(A) = {g .isin G | gAg^{-1} = A}
Bemærk at g .isin C_G(A) .drarrow gag^{-1} = a .isin A, .forall a .isin A, så C_G(A) .le N_G(A) hvilket medfører at N_G(A) .le G hvilket også kan bevises på baggrund af def. for normalisatoren: og ifølge prop. 1 gælder at N_G(A) .le G
Eksempler
Lad x, y .isin N_G(A), og vi får:
- Potenser af r kommuterer. Så A .le C_G(A)
- Da rs = sr^{-1} .ne sr, er s .notin C_G(A)
- Da C_G(A) .le G, gælder der at sr^{i} .isin C_G(A) .drarrow sr^{i}(r^{-i}) = s .isin C_G(A), for et
i ∈ {1,2,3,4}, ifølge prop.1.2 for u.grupper. Men det fører til en modstrid med ovenstående.
nu er altså r^i, s .isin N_G(A), i .isin {1,2,3,4}, og da normalisatoren er en undergruppe, gælder at s^{j}r^i .isin N_G(A), i, j .isin setZ hvilket tilsammen med A og s er hele G.