Syntaks

[22.11.2023] [Nørderier/Teori]

Vi kan navngive konnektiverne med det samme ud fra hvad de bliver kaldt på forrige side:

Konjunktion skrives som $\land$
Disjunktion skrives som $\lor$
Implikation skrives som $\to$
Negation skrives som $\neg$

Lad os introducere en formel, vi skriver formler med det græske bogstav $ϕ$ . Først og fremmest vil vi gerne have en mængde variable vi kan sætte i stedet for simple udsagn som "jeg har en kat". Normalen er at starte med bogstavet $p$ og så fortsætte derfra i alfabetet. Vi har altså for en formel: $ϕ \Rightarrow p, q, r . . .$ Her bliver det lidt bøvlet med pilene. Men $\Rightarrow$ læses som at venstresiden kan erstattes med hvad end der er på højresiden. Så $ϕ$ kan i hvert fald erstattes af et af bogstaverne $p, q, r$ . Godt. Vi tilføjer konnektiverne til vores formel: $ϕ \Rightarrow ϕ \land ϕ | ϕ \lor ϕ | ϕ \to ϕ | \neg ϕ | (ϕ)$ | læses som at vi frit kan vælge mellem hvad der er på højre og venstre side af |. Vi har nu at feks. $p \land q$ er en formel. Vi har også at $p$ er en formel. Det er $ϕ \land (p \to q)$ også. Det er $\to p ($ tilgengæld ikke. Generelt kan vi substituere et hvilket som helst $ϕ$ på højresiden af pilen med en formel der har $ϕ$ på venstresiden af pilen. Hver regel af typen $ϕ \to \dots$ kaldes en produktion. Men det er ikke så vigtigt for denne gennemgang. Her er vi bare interesseret i at slå fast at: $p \land (q \to r)$ er velformet, men det er $\land p (\to$ ikke.

Vi kalder også en velformet formel for et udtryk. Til sidst kan vi introducere præcedens: vi siger at $\neg$ binder stærkere end $\land, \lor$ der binder stærkere end $\to$ . Imodsætning til andre konnektiver er $\to$ højre-associativ. Vi læser $p \to q \to r$ som $p \to (q \to r)$ Videre.