Syntaks

[22.11.2023] [Nørderier/Teori]

Vi kan navngive konnektiverne med det samme ud fra hvad de bliver kaldt på forrige side:

Konjunktion skrives som $ \land $
Disjunktion skrives som $ \lor $
Implikation skrives som $ \rightarrow $
Negation skrives som $ \neg $

Lad os introducere en formel, vi skriver formler med det græske bogstav $ \phi $. Først og fremmest vil vi gerne have en mængde variable vi kan sætte i stedet for simple udsagn som "jeg har en kat". Normalen er at starte med bogstavet $ p $ og så fortsætte derfra i alfabetet. Vi har altså for en formel: $$\phi \Rightarrow p, q, r ...$$ Her bliver det lidt bøvlet med pilene. Men $ \Rightarrow $ læses som at venstresiden kan erstattes med hvad end der er på højresiden. Så $ \phi $ kan i hvert fald erstattes af et af bogstaverne $ p, q, r $. Godt. Vi tilføjer konnektiverne til vores formel: $$\phi \Rightarrow \phi \land \phi\ |\ \phi \lor \phi\ |\ \phi \rightarrow \phi\ |\ \neg \phi\ |\ ( \phi )$$ | læses som at vi frit kan vælge mellem hvad der er på højre og venstre side af |. Vi har nu at feks. $$ p \land q $$ er en formel. Vi har også at $$ p $$ er en formel. Det er $$ \phi \land (p \rightarrow q) $$ også. Det er $$ \rightarrow p ( $$ tilgengæld ikke. Generelt kan vi substituere et hvilket som helst $ \phi $ på højresiden af pilen med en formel der har $ \phi $ på venstresiden af pilen. Hver regel af typen $ \phi \rightarrow \dots $ kaldes en produktion. Men det er ikke så vigtigt for denne gennemgang. Her er vi bare interesseret i at slå fast at: $$ p \land (q \rightarrow r) $$ er velformet, men det er $$ \land p ( \rightarrow $$ ikke.

Vi kalder også en velformet formel for et udtryk. Til sidst kan vi introducere præcedens: vi siger at $ \neg $ binder stærkere end $ \land, \lor $ der binder stærkere end $ \rightarrow $. Imodsætning til andre konnektiver er $ \rightarrow $ højre-associativ. Vi læser $$ p \rightarrow q \rightarrow r $$ som $$ p \rightarrow (q \rightarrow r) $$ Videre.