Forside/Blogaden
Tekster
UfNet
Musik
Nørderier
Linktree
FB
Om
Ideen med prædikatlogik er at udvide udsagnslogik så vi kan ræsonnere om mængder. I udsagnslogik kan vi formalisere ting som "jeg har en kat" - altså deklerative sætninger. Et prædikat er at adjektiv der er forbundet til et subjekt med verbet er (dette kaldes kopula). Jeg kan feks. sige "jeg har en rød kat". rød her er adjektivet. Hvis k betegner min røde kat, er det feks. sandt at k er rød. Vi kan formalisere dette. Lad \( R(x) \) betegne at \( x \) er rød. Lad \( K(x) \) betegne at \( x \) er en kat. Så har vi at: $$ R(k) \land K(k) $$ er sandt for \( k \) min røde kat. De her prædikater giver anledning til at vi kan kvantificere. Vi kan ræsonnere over mængder. Lad \( x \) være i mængden af alle katte i universet - dette kalder et domæne. Så kan vi konstruere en delmængde på følgende måde: $$ x \in X : R(x) $$ Dette kan læses som at \( R(x) \) er mængden af alle røde katte i universet. Som klart er en delmængde af alle katte i universet. Vi tilføjer kvantorer til vores sprog. Vi kan sige noget om alle på følgende måde: $$ \forall x . R(x) $$ Domænet her er jo alle katte i universet. Så ovenstående læses som "at det er sandt at alle katte i universet er røde". Hvilket er absurd. Vi kan i stedet tilføje et prædikat, \( P(x) \), der læses som at \( x \) er et pattedyr. Vi prøver igen: $$ \forall x. P(x) $$ altså: "det er sandt at alle katte i universet er pattedyr". Hvilket jeg går ud fra. Det er i hvert fald sandt her på jorden. Vi har også en eksistens-kvantor: $$ \exists x . R(x) $$ Ovenstående skal læses som at "det et sandt at der eksisterer en kat der er rød". Hvilket er sandt. For eksistens bliver vi nødt til at have et ikke-tomt domæne. Det hænger ret godt sammen med vores sprog: der er intet der eksisterer i en tom mængde. Omvendt kan vi sige hvad som helst om alt der er i en tom mængde. Mængden af 200 meter høje personer er tom. Så det giver meget god mening at generalisere over dem. Feks. kan vi let sige at alle 200 meter høje personer er rødhårede.
Vi kalder \( R \) i ovenstående prædikat for selve prædikatet. Vi kalder \( x \) for argument. Et prædikat kan have så mange argumenter det skulle være. Normalt starter argumenterne med bogstavet x og fortsætter derfra. Vi Skriver: $$ P(x,y,\dots) $$ Et prædikat der tager 0 argumenter, er simpelthen en variabel i udsagnslogik. Vi kalder et der tager et argument, for unært (på engelsk unary, så unært i mangel af bedre, om ikke andet hedder det vist unært på norsk). Et der tager 2 argumenter, kalder vi binært. Lad feks. $$ O(x,y) $$ betegne at \( y \) er ældre end \( x \). Nu kan vi tilføje kvantorer til begge argumenter. Lad domænet være mennesker. Så læses $$ \forall x \exists y . O(x,y) $$ som at der for alle mennesker eksisterer et menneske der er ældre. Sandheden af dette kan gradbøjes. Medregner vi feks. døde mennesker? Hvis ikke, er der så ét menneske der er den ældste af os alle? Lad \( OA(x) \) være at \( x \) er det ældste menneske af os alle. Så har vi: $$ \forall x \exists y . OA(y) \lor O(x,y) $$
Rækkefølgen på kvantorne er ret vigtig. Vi har at $$ \forall x \exists y $$ læses som "for alle x eksisterer et y". Lad feks. domænet være de reelle tal. Lad \( P(x,y) = x \lt y \). Følgende er klart sandt $$ \forall x \exists y . P(x,y) $$ Altså. Ligemeget hvilket reelt tal jeg vælger, er der altid et reelt tal der er større. Men bytter vi om på rækkefølgen: $$ \exists y \forall x . P(x,y) $$ får vi "der eksisterer eet y der er større end alle x". Og det er løgn. Der er ikke et eneste reelt tal der er større end alle andre reelle tal.
Vi kan tilføje konstanter. Lad domænet være pattedyr. Lad \( aika \) være hunden Aika. Nu har vi at $$ \exists x . O(x,aika) $$ læses som at "der er et pattedyr der er yngre end aika". Vi kan tilføje argumenter til konstanter. Så bliver de til funktioner. Lad feks. $$ m(x) $$ returnere moren til \( x \). Lad \( P(x) \) være læst som at \( x \) er en person. Lad domænet være pattedyr. Og lad os så skrive: $$ \forall x . P(x) \rightarrow O(x,m(x)) $$ hvilket læses som at "hvis et eller andet pattedyr er et menneske, så er dette yngre end sin mor". En funktion her er en matematisk funktion. Den skal altså være veldefineret.
Index
Del
Terminus